TERMODINáMICA DEL EQUILIBRIO

CAPíTULO IV. EQUILIBRIO DE REACCIóN QUíMICA

 

 

Contenido

 

1. Conversión y Coordenada de Reacción

1.1.  Avance de Reacción

1.2.  Fracción de reacción

2.     Ecuaciones Independientes y Regla de las Fases

2.1.  Reacciones Independientes

2.2.  Grados de Libertad

3.     Calor de Reacción

3.1.     Caso 1. Combustible puro en cantidades estequiométricas con oxígeno

3.2.     Caso 2. Combustible puro y aire seco en exceso

3.3.     Caso 3. Combustible puro precalentado y aire en exceso con humedad

4. Criterios de Equilibrio en Reacción Química

4.1. Energía de Gibbs y Constante de Equilibrio

4.2. Evaluación de la Constante de Equilibrio: Efecto de la temperatura, presión y composición

4.3. Sistemas de Reacciones Múltiples

 

ANEXOS

ANEXO 01Ilustración 4.1 codificación en SMathSolver con la interfase a Excel

ANEXO 02Ilustración 4.2 codificación en SMathSolver

ANEXO 03. Ilustración 4.3. codificación en SMathSolver

ANEXO 04. Ilustración 4.8, 4.9 y 4.10. codificación en SMathSolver

 


 

1. Conversión y Coordenada de Reacción

 

1.1.      Avance de Reacción

 

El avance o extensión de la reacción, simbolizada con la letra ξ, cuantifica la variación de la cantidad de especies químicas que intervienen en una reacción y tiene unidad de mol. Fue introducido por el científico belga Théophile de Donder.

 

Se define en términos de las cantidades iniciales y finales de los componentes y sus coeficientes estequiométricos

ε = (ni - ni) / νi (4.1)

teniendo presente los signos de los coeficientes de productos y reactivos. Es decir, νi < 0 para los reactivos y νi > 0 para los productos.

 

Para evaluar la composición final de reactivos y productos en función del avance de reacción

ni = ni + νi ε (4.2)

 

También se determinan los moles totales de reacción en base al avance

 (4.3)

en donde

 

 

De tal forma que las fracciones molares pueden expresarse como

  (4.4)

 

 

Ilustración 4.1. Fracciones molares y coordenada. Desarrolle las expresiones que definen la coordenada de reacción para el siguiente caso en donde 2 moles de amoniaco reaccionan en fase gaseosa con 5 moles de oxígeno 

 

Las fórmulas desarrolladas para cada especie en esta reacción

Y utilizando la fórmula de recurrencia

Obteniéndose la gráfica correspondiente

Se incluye en al anexo 01 la codificación en SMathSolver de esta ilustración.

 

 

Ilustración 4.2. Coordenadas de reacción para un sistema de reacciones

Un sistema reactivo contiene al inicio 2 moles de CO2, 5 moles de H2 y 1 mol de CO. Ocurren dos reacciones simultáneas, ambas en fase gaseosa 

ε1

  ε2

Se tiene la estequiometría y las condiciones iniciales del sistema reactivo

 

Las fórmulas desarrolladas para los moles y composición final de cada especie en ambas reacciones

Y utilizando las fórmulas de recurrencia

Se incluye en al anexo 02 la codificación en SMathSolver de esta ilustración.

 

 

1.2.      Fracción de Conversión

 

Es la fracción de un reactivo en una reacción que se convierte en otra sustancia y se simboliza como XA. Generalmente se toma el reactivo limitante de referencia y se define como

   (4.5)

siendo A el reactivo limitante o de referencia, de tal forma que

  (4.6)

 

Y para los demás componentes en la reacción

  (4.7)

 

Además, tenemos que

  (4.8)

Y finalmente

  (4.9)

 

Ilustración 4.3. Coordenada y avance de reacción en reacción simple

La reacción simple en fase gaseosa

 

ocurre en un sistema cerrado a presión y temperatura constantes

T = 1000C  P = 1.013 bar

 

Las cantidades de cada especie presente son 2 moles de CH4, 1 mol de H2O, 1 mol de CO y 4 moles de H2. La estequiometría y las condiciones iniciales de la reacción

 

Se establecen los moles totales iniciales y el coeficiente global de reacción

 

Las fórmulas desarrolladas para los moles y composición final de cada especie en la reacción en función del avance de reacción ε

Por ejemplo

 

Aplicando ahora la definición de la fracción de conversión XA y seleccionando el agua como reactivo limitante, se tienen la siguiente expresión

Para este ejemplo el rectivo limitnte es el agua, A = 2 y XA = 0.40

Comparando con el resultado de la primera parte, se puede comprobar que corresponde a la misma respuesta obtenida con el avance de reacción.

 

Se puede obtener la gráfica correspondiente utilizando indistintamente el avance o la coordenada de reacción, dependiendo del tipo de datos que se tengan.

Se incluye en al anexo 03 la codificación en SMathSolver de esta ilustración.

 

 

2. Reacciones Independientes y Regla de las Fases

 

2.1. Reacciones Independientes

Se refiere al número mínimo de reacciones posibles entre las especies presentes en un sistema reactivo. Ello obliga a que ninguna de las reacciones del conjunto resulte de una combinación lineal de las demás. 

 

Para establecer el número de reacciones independientes se utiliza el Procedimiento de Denbigh, en el cual:

1.  Se escriben todas las ecuaciones estequiométricas de formación de todas las especies moleculares presentes, a partir de sus constituyentes atómicos.

2.  Se selecciona una de las ecuaciones obtenidas, que contenga especies químicas que no están realmente presentes en el sistema de reacción.

3.  Sustrayendo y adicionando apropiadamente esa ecuación seleccionada del resto de ecuaciones planteadas, se elimina esa especie química no presente.

4. Como resultado del paso anterior, se elimina una de las ecuaciones estequiométricas planteadas al inicio.

5.  Se repite el procedimiento hasta que sean eliminadas todas las especies atómicas no presentes en el sistema reactivo.

6.  Las ecuaciones que finalmente quedan, constituyen el conjunto de ecuaciones independientes del sistema reactivo analizado.

 

Se incluye una Ilustración del procedimiento

 

Ilustración 2.1. Para un sistema gaseoso consistente en CO, CO2, H2, H2O y CH4, en equilibrio de reacción química, se desea determinar el número de reacciones independientes.

 

Solución:

1.    Se plantean las ecuaciones estequiométricas a partir de las especies atómicas:

 

2.    Se escoge la ecuación 3 y se elimina H como especie no presente en el sistema

3.    Ahora se escoge la ecuación 1 y se elimina C como especie no presente en el sistema

4.    Finalmente, se escoge la nueva ecuación 2 y se elimina O como especie no presente en el sistema

Por lo tanto, el número de reacciones independientes es r = 2

 

 

2.2. Grados de Libertad

El estado intensivo de un sistema PVT se establece fijando la temperatura, presión y las composiciones de todas las fases. Sin embargo, para estados de equilibrio esas variables no son todas independientes, y fijando un número limitado de ellas, automáticamente se establecen las otras.

 

El número de variables independientes, que pueden ser arbitrariamente especificadas y que deben ser establecidas para fijar el estado intensivo de un sistema en equilibrio, se le llama el Numero de Grados de Libertad del Sistema, y se determina por la regla de las fases

F = 2 + N  (p + r + s) (4.10)

en donde  N el número de especies químicas presentes

p es el número de fases

r el número de reacciones independientes

s es un factor para casos especiales.

 

 

Ilustración 2.2. Para el sistema reactivo planteado anteriormente de CO, CO2, H2, H2O y CH4 (como mezcla de gases en equilibrio de reacción), se desea determinar el número de Grados de libertad de ese sistema

 

Solución:

El número de especies químicas presentes N = 5

El número de fases existentes p = 1

El número de reacciones independientes r = 2

No existen consideraciones especiales s = 0

 

Para determinar el número de reacciones independientes ver la sección. Por lo tanto, 

F = 2 + 5  (1 + 2 + 0) = 4

 

Este resultado indica que, por ejemplo, al ser especificado P y T del sistema, se establecen 2 reacciones molares en la mezcla en equilibrio de las 5 especies presentes, sin necesidad de especificar nada más.

 

 

3. Calor de Reacción 

Todos los procesos reactivos involucran un cambio en las estructuras atómico-molecular de las especies presentes con un efecto calorífico a los alrededores, dependiendo si se trata de reacciones exotérmicas o endotérmicas.

 

Es conveniente recordar sobre los tipos de combustión existentes. La reacción de combustión teórica aplicada a cualquier alcano que implica la combustión total con oxígeno puro, para producir dióxido de carbono y vapor de agua

 (4.11)

En este caso, se definen los coeficientes de reacción en términos de las relaciones molares resultantes del balanceo estequiométrico por cada mol de combustible reaccionando. Por ejemplo,

Y la reacción de combustión incompleta en la cual se produce monóxido de carbono resultado de ineficiencias tales como temperaturas muy bajas o contaminantes en el proceso, como la humedad del aire.

 (4.12)

Por ejemplo,

 

Reuniendo ambos casos se tiene la reacción de combustión incompleta integrada para hidrocarburos simples

En donde los coeficientes estequiométricos quedan definidos así

El aire teórico es la cantidad estequiométrica que se requiere para lograr combustión completa. Y el aire en exceso es aquel que se agrega sobre la cantidad estequiométrica, generalmente para garantizar una mayor eficiencia de operación

%aire teórico = 100%aire estequiométrico + %exceso  (4.13)

 

Por ejemplo, el 50% de aire en exceso equivale al 150% del aire teórico y el 200% en exceso equivale al 300% de aire teórico.

Existen tres tipos de operación de quemadores y cámaras de combustión, siendo el primero y segundo casos consideraciones termodinámicas límites y el tercero la operación industrial, intermedia entre las dos posibilidades anteriores.

 

     Extracción máxima de calor (calor estándar de reacción) considera la operación en la cual la temperatura de los gases de salida es la misma que la de los reactivos, lo cual implica la extracción de calor máxima teórica.

       

        

      

      Proceso de operación adiabática en donde la temperatura de los gases de salida es máxima ya que no hay extracción de calor. 

       

        

   

           Extracción parcial de calor en donde la temperatura de los gases de salida es mayor a la temperatura de los reactivos, pero inferior a la temperatura de flama adiabática.

       

        

      

 

En el planteamiento de este tipo de problemas se busca resolver cualquiera de las tres incógnitas:

a.    Determinar la temperatura máxima de combustión que se alcanza cuando el reactor opera adiabáticamente. Se le conoce como Temperatura de Llama Adiabática.

b.    Determinar el calor necesario de extraer del reactor para obtener productos a una temperatura determinada

c.    Determinar la temperatura de los productos (gases de combustión) cuando se extrae una cantidad de calor determinada.

Pueden darse cualquiera de esas tres posibilidades.

 

Caso 1La situación más sencilla: se alimenta un combustible puro en cantidades estequiométricas con oxígeno y se hacen reaccionar. 

 

Son sistemas reactivos muy eficientes, que industrialmente representan un costo mayor de operación al utilizar oxigeno puro en vez de aire, pero puede ser requerido en algunos procesos especiales o donde se necesite generar suficiente calor. Se ilustra el procedimiento

 

Ilustración 4.4. Se utiliza un horno de combustión que opera a 1 atm, para quemar 10 mol/h de octano puro precalentado a 35C con oxígeno puro a 25C en cantidades estequiométricas, asumiendo combustión completa. Evaluar:

a) La temperatura de llama adiabática

b) El calor extraído cuando la temperatura de los gases de combustión es 250C

c) La temperatura de salida de los gases de chimeneacuando se extraen 3,500 kJ/hr de calor

Solución. 

Los coeficientes de la reacción de combustión teórica ideal son

De tal forma que la ecuación de combustión teórica ideal es

 

 

 

La cantidad de reactivos se obtiene del balance estequiométrico ideal

Calor de reacción estándar a 298K por mol de combustible alimentado

La temperatura máxima alcanzada o de llama adiabática

Calor extraído para alcanzar una temperatura de producto dada a la salida

Temperatura de los productos a la salida cuando de extrae una cantidad conocida de calor

 

 

Caso 2. Se alimenta un combustible puro y se hace reaccionar con aire seco. En este caso el aire puede agregarse en exceso para garantizar una combustión completa.

 

Son sistemas reactivos menos eficientes, pero representan el común de las operaciones industriales de este tipo. En estos casos puede haber presencia de monóxido de carbono a la salida, como producto de mezclas no perfectas de combustión. Se ilustra el procedimiento

 

Ilustración 4.5. Se utiliza un horno de combustión que opera a 1 atm, para quemar 10 mol/hr de octano puro utilizando ire seco a 25C el cual se alimenta en un 30% en exceso. Se reporta a la salida 91.93% de CO2 y el resto de CO.

Evaluar:

a)   La temperatura de llama adiabática

b)   El calor extraído cuando la temperatura de los gases de combustión es 250C

c)    La temperatura de salida de los gases cuando se extraen 3,500 kJ/hr de calor

Solución.

 

Cálculo del balance estequiométrico a partir de las reacciones de combustión teóricas ideales

Ocurren dos reacciones en paralelo, produciendo CO2 y CO y las relaciones estequiométricas teóricas son

En base a la estequiometría, las dos reacciones integradas por mol de combustible alimentado son

Los coeficientes estequiométricos incluyendo el aire en exceso son

Los moles de combustibles y aire a la entrada son

La cantidad de gases de combustión a la salida es

El calor de combustión estándar (298K) a la salida es

La temperatura de llama adiabática

 

El calor extraído para alcanzar una temperatura conocida del producto a la salida

Temperatura de los productos a la salida cuando se extrae una cantidad conocida de calor Q = -3,500 kJ

 

 

Caso 3. Se alimenta un combustible puro, el cual se puede precalentar para mejorar la eficiencia de combustión, y se hace reaccionar con aire, que se agrega en exceso, el cual a su vez puede contener humedad. 

 

Se obtiene la información de las concentraciones de los gases de combustión por el análisis ORSAT. 

 

Son sistemas reactivos mucho menos eficientes, con presencia de monóxido de carbono, resultado de la presencia de humedad en el aire entre otras causas. Se presenta una ilustración al respecto en donde se muestra lo complejo que pueden llegar a ser los cálculos.

 

Ilustración 4.6. Se utiliza un horno de combustión que opera a 1 atm, para quemar 10 mol/hr de octano puro precalentado a 35C, utilizando aire a 25C el cual se alimenta en un 30% en exceso y contiene una humedad relativa del 75%. Se reporta el análisis de chimenea ORSAT de 10.02% CO2, 0.88% CO, 5.62% O2 y 83.48% N2.

Evaluar:

a)   La temperatura de llama adiabática

b)   El calor extraído cuando la temperatura de los gases de combustión es 250C

c)    La temperatura de salida de los gases cuando se extraen 3,500 kJ/hr de calor

Solución.

Los gases de combustión ORSAT sirven para determinar la relación en peso de bióxido formado con respecto al total de bióxido y monóxido juntos

Las reacciones de combustión teóricas ideales planteadas en la ilustración anterior y el cálculo del balance estequiométrico es

En base a la estequiometría, las dos reacciones integradas por mol de combustible alimentado son

Los coeficientes estequiométricos que incluyen el aire en exceso son iguales a los planteadas en la ilustración anterior, de tal forma que los moles de combustibles y aire a la entrada coinciden con los valores hallados previo.

La cantidad de gases de combustión a la salida es

El aire seco teórico corresponde a

Convirtiendo los moles a la salida en términos másicos

La humedad absoluta a la salida del quemador

El calor de combustión estándar a la salida (298K) por mol de combustible alimentado es

 

La temperatura de llama adiabática

Calor extraído para alcanzar una temperatura conocida del producto a la salida

 

Temperatura de los productos a la salida cuando se extrae una cantidad conocida de calor Q = -3,500 kJ

Se incluye en al anexo 06 la codificación en SMathSolver de esta ilustración.

 

 

4. Criterio de Equilibrio en Reacción Química.

 

Para un sistema reactivo a presión y temperatura constante, al combinar la primera y segunda ley termodinámica, se obtiene la expresión de energía libre de Gibbs

dGT,P = dU + P dV  T dS ≤ 0  (4.14)

 

La reacción a temperatura y presión especificadas, se desplaza en la dirección de la disminución de la función de Gibbs, y la reacción se detiene cuando alcanza un mínimo en el valor de esta función. Este es el criterio de equilibrio químico

  (4.15)

 

Podemos ver este comportamiento en la figura (Cengel et al, 2022:793) en donde se muestra esta tendencia al equilibrio ya que la reacción se amortigua y detiene al llegar a cero el cambio en el valor de la función de Gibbs.

 

Aplicando este criterio a una reacción química en base a los coeficientes estequiométricos, el avance de reacción y la función de Gibbs de cada componente, se obtiene la siguiente expresión conocida como el criterio de equilibrio de reacción

 (4.16)

en donde  νi son los coeficientes estequiométricos

Gi es la energía libre parcial molar de Gibbs de cada reactante

 

Esta ecuación es de aplicación sin importar la fase en que transcurra la reacción. La energía libre de Gibbs para un sistema reactivo gaseoso cerrado queda definida por la expresión

  (4.17)

en donde  Gi es la energía de Gibbs de cada componente puro

ni los moles de cada especie reactante

fifoi son las fugacidades de cada especie en la mezcla y como sustancia pura a T y P del sistema

 

Para un sistema gaseoso a baja presión se puede considerar la idealidad por medio de la expresión

 (4.18)

A medida que la reacción transcurre el número de moles, reflejado en las fracciones molares de cada especie, y la energía libre de Gibbs total cambian. El número de moles de todas las especies está relacionado entre si a través de la coordenada de reacción ya definida previo

  (4.02)

De tal forma que

 (4.19)

 

Esta expresión es muy útil, ya que solamente se tiene una variable a determinar.

 

 

Ilustración 4.7. La siguiente reacción en fase gaseosa ocurre en un sistema cerrado a presión y temperatura constantes, inicialmente 1 mol de CO2 y 1 mol de H2.

Se incluye en al anexo 07 la codificación en SMathSolver de esta ilustración

4.1. Energía de Gibbs y Constante de Equilibrio

 

Se define la actividad química de la especie i en una mezcla reactiva como la relación de fugacidades en i mezcla y como sustancia pura en el estado estándar.

 

El potencial químico de mezcla en términos de la actividad química de mezcla se expresa así

 (4.19)

Y para la condición de equilibrio se tiene la siguiente igualdad

 (4.20)

Por otra parte, la variación de la función de Gibbs a la temperatura de la mezcla y 1 atm de presión se expresa como 

 (4.21)

Por definición, la constante de equilibrio en términos de la actividad química de mezcla es

 (4.22)

 

Para el caso de gases ideales la ecuación anterior se simplifica a

 (4.23)

 

Y por la definición de la fugacidad de mezcla de obtiene

 (4.24)

 

Ilustración 4.8. Calcule el avance de reacción para la dimerización del tetraóxido de nitrógeno

Data: temperatura, presión y función de Gibbs de formación

                  

 

 

 

Cálculo de la función de Gibbs estándar

La constante de equilibrio estándar vale

Calculando por medio de la fórmula de Kp en función de la presión y el avance de reacción

De la estequiometría de reacción aplicando el avance de reacción tenemos

 

 

 

 

Y trasladando estos valores a la expresión de Kp tenemos

 

El criterio de equilibrio indica que se debe igualar el valor de Kp(T) y Kp(P) para determinar el avance efectivo de reacción. Por tanteos se puede resolver 

 

Alternativamente, se puede utilizar la ec. 4.19 de la función de Gibbs en términos del avance

                          

                   
    Que al sustituir las composiciones y en términos del avance queda

 

 

 

Se define la derivada de la función de Gibbs 

para determinar su valor igual a cero que coincide con el valor menor de Gibbs, es decir en ε de equilibrio

Que coincide con el valor encontrado en la sección anterior.

Se incluye en al anexo 04 la codificación en SMathSolver de esta ilustración

 

 

Ilustración 4.9. Para la misma dimerización del tetraóxido de nitrógeno, se adiciona un gas inerte en relación 5:1

 

Data: temperatura, presión y función de Gibbs de formación

                  

 

 

 

Puede observarse que se favorece el avance de reacción al adicionar un gas inerte. Se incluye en al anexo 04 la codificación en SMathSolver de esta ilustración

 

 

4.2. Cálculo de la Constante de Equilibrio con la temperatura

 

El efecto de cambios en la temperatura en una reacción química se ve reflejado en la constante de equilibrio [K], la cual puede ser evaluada a partir de la Ecuación de Van`t Hoff

 (4.25)

Integrando se obtiene la expresión que relaciona dos estados de equilibrio:

 (4.26)

Para intervalos de temperatura pequeños, se puede hacer una aproximación de la ecuación anterior

 (4.27)

 

Ilustración 4.10. Calcule el avance de reacción para la dimerización del tetraóxido de nitrógeno puro para intervalos de temperatura entre 200 y 400K a presiones de 0.1, 1.0 y 10 atmósferas

Data

Entalpía de formación y coeficientes de la capacidad calorífica

La entalpía de reacción se puede expresar en función de la temperatura en forma integrada 

Graficando la entalpía de reacción para rangos de temperatura se observa disminución en su valor, lo cual indica que el calor liberado será menor conforme aumenta la temperatura del sistema reactivo. 

Por otra parte, utilizando la ecuación de vant Hoff

Utilizando la expresión de Kp desarrollada en la ilustración (4.2) y despejando para el avance

 

Al graficar el avance de reacción en función de la temperatura se observa un incremento en la dimerización del óxido. A mayor pendiente indica velocidad de reacción mayor

Al inicio la reacción procede despacio hasta llegar a la temperatura de máxima velocidad que corresponde a la sección de pendiente máxima en la figura. Sin embargo, hay una temperatura límite a la cual esa tendencia disminuye drásticamente hasta detenerse la reacción, lográndose el equilibrio. Esta misma tendencia ocurre para diferentes isóbaras, aunque a mayor presión se amortigua la reacción y es más lento el avance.

Se incluye en al anexo 11 la codificación en SMathSolver de esta ilustración

 

 

4.3Sistemas de Reacciones Múltiples

 

Se pueden evaluar las condiciones de equilibrio en mezclas de especies gaseosas por medio del cálculo de las composiciones finales en términos de la energía Libre de Gibbs de formación de cada componente:

en donde aik es una matriz de frecuencia de atomos presentes en cada especie y λk son multiplicadores de Lagrange para resolver el sistema de ecuaciones. Se utilizan las masas atómicas y se resuelve para las fracciones molares.

 

Se puede entonces, obtener el avance relativo de las reacciones en competencia. Por ejemplo:

 

Cuando se conocen las reacciones del sistema reactivo se procede a plantear funciones de la entalpia de reacción como función de la temperatura, aplicando el criterio sugerido por Smith, van Ness y Abbott. Seguidamente por la ecuación de van`t Hoff se obtienen expresiones para las constantes de equilibrio en función de la temperatura, el calor de reacción y la constante de equilibrio estándar para cada reacción.

 

Ilustración 4.12. Para el sistema de reacciones dado, encuentre los valores de las Constantes de Equilibrio Termodinámico para un intervalo de temperatura de 600 a 1600K a 1 atm constante. Evaluar las fracciones molares a 600K asumiendo 1 mol inicial de agua en la fase gaseosa.

Data

Evaluando las Constantes Termodinámicas Estándar

Aplicando la ecuación de van't Hoff (Ec.15.16 Smith, van Ness & Abbott)

 

 

Efectuando un Balance de Masa para el sistema de ecuaciones, asumiendo las coordenadas de reacción ε1ε2 εrespectivamente, para 1 mol de vapor de agua inicial, se obtienen las expresiones

Buscando la temperatura a la cual K= K Tcom :600K

Evaluando la Coordenada de Reacción a esa temperatura

 

Para determinar las fracciones molares a esa temperatura T 1079.9K

Ref. Sandler, Stanley I. (1999). "Chemical and Engineering Thermodynamics". Third Edition. John Wiley & Sons. New York. pp. 678-680

 

 

Ilustración 4.12. Calcular las composiciones de equilibrio a 1,000K y 1 bar del sistema reactivo gaseoso que contiene metano, agua, monóxido y bióxido de carbono e hidrógeno. Al inicio están presentes 2 moles de metano y 3 moles de agua.

Para resolver este problema es necesario realizar un balance de masa atómico, y por el número de variables se emplean multiplicadores de Lagrange

Los moles y las fracciones molares finales de la mezcla son

Cálculo del avance de reacción y coeficientes estequiométricos

Las reacciones en este sistema son

La reacción incompleta de CO avanza un 82.5% y la del CO2 solamente 17.5%.

 

SMITH, J.M.; VAN NESS, H.C.; ABBOTT, M.M. (2005). "Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics". Seventh Edition. McGraw Hill's Series: Chemical Engineering Series. New York. pp 527-528; 693

 

ANEXOS

 

ANEXO 01. Codificación en SMathSolver de la Ilustración 4.1 con la interfase a Excel para graficar

ANEXO 02. Ilustración 4.2. codificación en SMathSolver

 

ANEXO 03. Ilustración 4.3. codificación en SMathSolver

 

ANEXO 04. Ilustración 4.8, 4.9, 4.10. codificación en SMathSolver